Pentagrammi

Pentagrammi on viime vuosikymmenten aikana vähitellen vakiintunut wiccan eli eurooppalaisen uusnoituuden tietynlaiseksi symboliksi. Maagisena symbolina se on ikivanha ja lähes yleismaailmallinen, ja sitä ovat käyttäneen monet uskonnot ja mystiset suuntaukset, muun muassa filosofi Pythagoras, juutalaiset, ja niin edelleen.

Pentagrammi maagisena symbolina

Pentagrammin kärkien katsotaan usein kuvaavan neljää elementtiä: maata (alavasen*), vettä (alaoikea), ilmaa (yläoikea), tulta (ylävasen), sekä mieltä ja tietoisuutta (ylin), niiden yhdistelmää. Tähteä ympyröivän kehän katsotaan kuvaavan ykseyttä ja kokonaisuutta, maailmankaikkeutta ja maata. Pentagrammi on myös "kokonaisen ihmisen" symboli. Muita merkityksiä ja tulkintoja on jotakuinkin lukemattomia.

Ylösalaisin olevaa pentagrammia käytetään joissain wiccan ja seremoniamagian koulukunnissa kuvaamaan tiettyjä oppiasteita, yms. Sitä käyttävät kuitenkin myös esimerkiksi satanistit, joilla alaspäin osoittava kärki kuvaa maallisuuden voittoa henkimaailmasta, sekä jotkin kristilliset lahkot: onhan pentagrammi Raamatun Salomoninkin käyttämä maaginen symboli.

* Merkitykset vaihtelevat eri tulkinnoissa, tämä on yksi järjestys.

Muunnelmia pentagrammista

Penelopen verkko on yksi versio lomitetuista pentagrammeista. Sen voi piirtää kahdella kynänvedolla (allaolevan kuvan keskiosan viivat ovat vain koristeita).

Vastaavalla menetelmällä voi piirtää myös verkon, jossa keskellä lisäksi kaksi päällekkäistä, eri suuntiin osoittavaa pentagrammia.

Pentagrammin matemaattiset ominaisuudet

Pentagrammilla on pitkä perinne matemaattisessa geometriassa, mistä syystä tämä kuvio oli myös kreikkalaisen filosofi Pythagoraan, matematiikan isän, suosikkeja.

Pentagrammi oli Pythagoraan perustaman filosofisen koulun salainen tunnusmerkki, josta koulukunnan jäsenet tunnistivat toisensa.

Eräs Pythagoraan merkittävimmistä geometrian löydöistä oli kultainen leikkaus eli pyhä suhdeluku eli jumalallinen suhdeluku, joka löytyy pentagrammin osien suhteista. Suhde on löydettävissä Gizan pyramedeista, ja se mainitaan jo muinaisissa egyptiläisissä kirjoituksissa. Tarkastellaan pentagrammin geometrisia ominaisuuksia yksikköpentagrammin avulla, jonka sivun pituus l=1:

Eri pituudet saadaan tällöin laskettua kaavoista

Kultainen leikkaus on suhde

Tämä on myös sama kuin mitan x suhde sivun pituuteen, eli l/x.

Kultainen leikkaus on ainutlaatuinen suhdeluku monelta kannalta. Se esiintyy monessa paikassa matematiikassa, kuten geometrisessa spiraalissa ja Fibonaccin luvuissa. Sillä on lisäksi seuraavat matemaattiset ominaisuudet:

Tämä klassisen geometrian merkittävä saavutus käy ilmi myös pentagrammeista muodostettavassa sisäkkäisessä fraktaalissa, jossa pentagrammit pienenevät kultaisen leikkauksen potenssissa.

Ryhmä Z5

Matemaattisen ryhmäteorian kannalta pentagrammia voidaan tarkastella 5-alkioisessa ryhmässä Z5, joka on muodostettu joukossa P={1,a,b,c,d} relaation * triviaalilla määrittelyllä:

* 1 a b c d
1 1 a b c d
a a b c d 1
b b c d 1 a
c c d 1 a b
d d 1 a b c

Eli * on käytännössä tavallinen yhteenlaskurelaatio.

Ryhmä Z5 on syklinen: se saadaan generoitua korottamalla mikä hyvänsä alkio A_i potenssiin A_i⁵, kun i>=2. Jos piirrämme ympyrälle tasavälein viisi pistettä ja merkitsemme ne järjestyksessä 0,a,b,c ja d, saamme ryhmän Z5 alkioiden eri potenssien avulla generoitua sekä viisikulmion (pentacle) että pentagrammin. Viisikulmio saadaan alkion a potensseista ja pentagrammi alkion b potensseista, seuraavasti:

Viisikulmio Pentagrammi
a⁰=1 b⁰=1
a¹=a b¹=b
a²=b b²=d
a³=c b³=a
a⁴=d b⁴=c
a⁵=1 b⁵=1

Vastakkaiseen suuntaan piirrettävä pentagrammi saadaan generoitua alkion c potensseista.

Ryhmä on myös Abelin ryhmä (koska se on syklinen); se kommutoi, eli A*B=B*A.

Huomautus! Tämä ryhmäteorian maininta on lähinnä vain muodollinen esitystapa: siitä ei löydy mitään merkittäviä matemaattisia luonnonvakioita, kuten kultaisen leikkauksen tapauksessa, eikä suoranaisesti mitään muutakaan mystistä.

Tätä alkeellista ryhmäteorian tapausta on kuitenkin käytetty pentagrammin elementtien korrespondenssien selvittelyssä ainakin okkultistisessa Golden Dawn -koulussa. Tutustumatta heidän järjestelmäänsä sen tarkemmin, voimme itse ajatella esimerkiksi seuraavaa. Oletetaan, että pentagrammin ylimmäistä alkiota nimetään 1 ja siitä myötäpäivään a, b, c ja d. Jos elementtien korrespondenssit ovat:

1 henki-mieli-tietoisuus
a ilma (tai maa)
b vesi (tai ilma)
c maa (tai vesi)
d tuli

saadaan tällöin ''reaktiota'' eri elementtien välillä: ilman ja veden elementit muodostavat maan elementin, maan ja tulen elementit muodostavat veden elementin, jne. Myös elementtien tulo a*b*c*d=1. Se onko näistä korrespondensseista mitään hyötyä, on sitten mystisempi asia.

Pentagram - Eric Weisstein's Encyclopedia of Mathematics
Finite Group Z5 - Eric Weisstein's Encyclopedia of Mathematics